2.1 직렬 아크 결함의 물리적 특성

직렬 아크는 전선 또는 전기 접속부의 불완전한 접촉 지점에서 발생하는 국부적인 방전 현상으로, 해당 지점의 공기 절연이 전기적 스트레스에 의해 국부적으로 파괴되면서 형성된다. 이 과정에서 이온화된 가스가 전기 전도성을 갖는 플라즈마 상태로 전이되며, 플라즈마 경로를 따라 아크 기둥이 형성되고 그 내부를 통해 아크 전류가 흐르게 된다. 저전압 배선에서 발생하는 아크는 국부적으로 수천 켈빈 이상의 고온에 도달할 수 있으며, 이는 전선의 절연 피복을 녹이고 탄화시켜 화재를 유발하는 직접적인 점화원이 될수도 있다(8).

저전압 교류 회로에서 발생하는 직렬 아크는 일반적인 부하와는 다른 고유의 전압-전류(V-I) 특성 곡선을 나타낸다. 아크 발생 이전에는 전극 사이에 전원 전압이 그대로 인가되며, 이때 회로에는 전류가 흐르지 않는다. 절연 파괴가 발생하여 아크가 발생하면, 전류가 흐르기 시작하면서 아크 전압은 수십 V 수준으로 급격히 감소한다. 이후 아크 전류가 증가하는 동안에도 아크 전압은 비교적 일정한 값을 유지하는데, 이 구간을 전압 평탄부라 한다. 또한, 교류 전류가 반대 방향으로 전환되기 위해 영점(zero-crossing)을 지나는 시점에서는, 아크에 공급되는 에너지가 일시적으로 차단되어 아크가 소멸될 수 있다. 이 영점 부근의 거동은 아크가 완전히 소멸될지, 혹은 다음 반주기에서 다시 점화될지를 결정하는 핵심 구간으로, 아크의 지속성 및 화재 위험성 평가에 중요한 영향을 미친다(3).

2.2 Cassie 모델

캐시 모델은 고전압 차단기 내부의 대전류 아크 현상을 설명하기 위해 개발되었다(9). 아크의 열 손실은 대류, 전도, 복사 등 복잡한 메커니즘으로 발생하는데 캐시 모델은 아크 방전 동안 열에너지는 주로 아크 기둥의 표면을 통해서 강제 대류로 손실된다고 가정하였다. 대전류 영역에서는 아크가 이미 충분히 성장하여 전류가 변하더라도 아크의 직경은 거의 변하지 않고 내부의 전류 밀도만 변한다고 가정하였다. 이러한 열 손실은 아크에 저장된 총 에너지에 비례하며 이를 나타내면 다음과 같다.

여기서P_loss는 강제 대류에 의한 열 손실전력이며E는 아크의 총 에너지이다.

아크의 총 에너지는 전기전도도와 밀접한 관련이 있으며 이를 나타내는 컨덕턴스(G)에 비례한다(E∝G). Cassie는 열 손실전력과 컨덕턴스는 일정한 전압의 제곱 형태인 비례상수를 가진다고 가정하였으며 비례상수 캐시전압(U_c)을 도입하여 다음과 같은 등식으로 표현하였다.

에너지 기본 관계식에 의해 아크 에너지의 변화량은 입력전력 (P_in)과 아크의 열 손실전력(P_loss)으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

또한, 아크 에너지는 전기 전도 특성과 열 축적 특성을 동시에 가지므로 컨덕턴스(G)와 열용량 상수(C_th)에 비례하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

식(2)와 식(4)를 식(3)에 대입하고 아크 시정수를 θ= CthUc2 정의하여 캐시 모델 방정식을 정리하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서U_arc는 아크 전압, U_c는 캐시전압이다. 캐시전압은 아크가 안정적인 상태를 유지하는 조건, 즉 아크에 공급되는 전력과 손실되는 전력이 같아지는 평형점에서의 전압을 의미하며 컨덕턴스의 변화량이 0이 되는 상태의 전압을 의미한다.

이 모델에서 아크를 유지하는 데 필요한 전압(캐시전압)은 전류의 크기와 무관하게 거의 일정하며, 이는 대전류가 흐르는 구간의 아크의 거동을 효과적으로 모사하며 아크가 안정적으로 유지되는 현상을 분석할 수 있다.

2.3 Mayr 모델

Mayr 모델은 소전류 및 전류 영점 부근의 아크 소멸 현상을 설명하기 위한 모델이다(10). 아크의 열손실 메커니즘에서 열에너지는 주로 아크 표면에서의 열전도에 의해 손실된다고 가정하였으며 아크의 온도는 일정하게 유지되지만 전류의 크기에 따라 아크의 직경이 변한다고 가정하였다.

아크 에너지는 식(4)를 식(3)에 대입하고 입력 전력을 아크 전압(U_arc)과 아크 전류(I_arc)를 이용하여 표현하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

Mayr는 아크의 변화는 현재 아크의 크기에 따라 다르게 나타난다고 가정하여 에너지 기본 관계식을 상대적인 값으로 나타냈는데 좌변은 컨덕턴스 대비 상대 변화율인  1G  dGdt 로, 현재 손실되는 에너지 대비 상대 변화율인  Pin −PlossPloss  로 표현하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

열 손실전력P_loss를 마이어 전력P_m으로 나타내고 아크 시정수 θm= CthPm 을 정의하여 미분방정식을 정리하면 다음과 같다.

마이어 모델의 가정에 따르면, 아크는 전류 변화에 따라 직경을 조절하여 항상 일정한 양의 손실전력(P_m, 마이어 전력)을 외부로 방출한다. 이 모델은 입력전력(U_arc I_arc)이 손실전력(P_m)보다 작아지면 아크가 급격히 소멸하는 현상을 수학적으로 표현할 수 있다. 따라서 전류가 0으로 수렴하는 아크 소멸 및 재점화 가능성을 예측하는 데 매우 유용하다.

2.4 Cassie-Mayr 하이브리드 모델

Cassie 모델은 아크의 단면적이 일정하게 유지되어 아크 전압(U_arc)이 일정한 캐시 전압(U_c)값으로 유지된다고 가정하므로 대전류 영역에서의 아크의 성장과 유지를 잘 설명할 수 있지만 전류가 0으로 수렴하는 부근에서 아크가 소멸되는 현상을 설명할 수 없다. 전류가 0에 수렴해도 여전히 일정한 캐시 전압을 가정하므로 실제 아크의 동적인 소멸 및 재점화 과정을 반영하지 못하는 한계를 가진다. 또한 Mayr 모델은 냉각 전력이라고도 불리는 마이어 전력(P_m)이 일정하게 유지한다고 가정한다. 따라서 마이어 모델에 의하면 입력 전력과 냉각 전력이 평형을 이루려는 경향이 거의 같음(U_arc I_arc ≈P_m)을 예측하므로 소전류 영역에서의 전압-전류 특성을 잘 설명할 수 있다. 하지만 이 모델은 일정한 마이어 전력 가정을 위해서 아크 전류가 커지는 경우 아크 전압이 0에 가깝게 감소할 것으로 예측되는데 이는 대전류 영역에서 전압이 일정하게 유지되는 실제 아크 현상과 다른 결과이므로 대전류 영역 부근에서 아크의 거동을 설명할 수 없다는 단점이 있다.

이러한 각 모델의 한계를 극복하고 단점을 보완하기 위해, Cassie 모델과 Mayr 모델을 융합한 Cassie–Mayr 하이브리드 모델을 적용함으로써 아크의 전 구간에 걸친 동적 거동을 보다 현실적으로 모사할 수 있다.

하이브리드 모델을 적용하기 위해 각각의 모델에 컨덕턴스의 크기에 의존하는 스위칭 함수s(G)를 정의하고 이를 캐시 모델과 마이어 모델에 식에 가중치로 적용한다. 대전류 영역(G가 클 때)에서는 아크가 강한 상태이므로 캐시 모델이 적합하므로s(G)=1이 되며, 소전류 영역(G가 작을 때)에서는 아크가 약한 상태이므로 마이어 모델이 적합하므로s(G)=0이 된다. 스위칭 함수를 이용하여 하이브리드 모델의 손실전력(P_loss-H)을 표현하면 다음과 같다.

여기서P_loss-C는 캐시 모델의 손실 전력, P_loss-M는 마이어 모델의 손실 전력이다.

Cassie 모델과 Mayr 모델의 손실전력은 각각 Ploss−C=GUc2, P_loss-M =P_m이므로 하이브리드 모델의 손실전력은 다음과 같다.

아크 시정수 θh= CthPloss−H 로 정의하고 마이어 모델 수식(식(8))에 캐시-마이어 하이브리드 모델의 열 손실전력(P_loss-H)을 대입하여 미분방정식을 정리하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

캐시 모델과 마이어 모델의 경계를 나타내는 전환 컨덕턴스(G_t)를 이용하여 스위칭 함수를 가장 대표적인 형태인 지수함수의 형태로 나타내면 다음과 같이 표현할 수 있다.

따라서 최종적으로 캐시-마이어 하이브리드 모델은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

컨덕턴스G가 커질수록G_t/G항이 0에 수렴하여 스위칭 함수는s(G)→ 1에 수렴하며 이 경우에는 캐시 모델이 지배적인 미분방정식이 되고, 컨덕턴스G가 작아질수록G_t/G항이 1에 수렴하여 스위칭 함수는s(G)→ 0에 수렴하며 이 경우에는 마이어 모델이 지배적인 미분방정식이 된다. G_t는 전환 컨덕턴스로 캐시 모델과 마이어 모델에 대한 가중치를 나타내며 크기에 따라 모델 간의 스위칭 되는 지점을 결정할 수 있다.

본 연구에서는 캐시-마이어 하이브리드 모델의 이론적 배경을 바탕으로 직렬 아크 전압과 아크 전류를 측정하여 고역률, 저역률 부하 특성에 따른 각각의 파라미터를 도출하고 비교하였다.

3.1 실험 장치의 구성

Figure 1은 교류 전압에서의 직렬 아크 특성 분석을 위한 직렬 아크 측정 시스템 구성도이다. 직렬 아크 측정 시스템은 전원부, 아크 발생부, 부하부, 측정부로 구성된다. 전원부는 안정적인 전압 공급을 위해 AC 상용전원을 사용하였으며 아크 발생부는 가동 전극(탄소 전극)과 고정 전극(구리 전극)으로 구성되며 두 전극 사이의 간격을 조절하여 아크를 발생시킬 수 있도록 설계되었다. 부하부는 임피던스 및 역률 특성이 다른 고역률 부하인 진공청소기와 저역률 특성의 부하인 전원공급장치(switching mode power supply, SMPS)를 사용하였으며, 측정부는 직렬 아크 전압 및 전류 측정을 위해 오실로스코프, 차동 프루브, 전류 프로브를 사용하였다. Table 1은 실험에 사용된 직렬 아크 측정 시스템의 세부 사양을 나타낸다.

Figure 1

Configuration of the series arc measurement system.

Table 1

Specifications of Experimental Equipment for Series Arc Measurement

3.2 측정 및 데이터 분석

본 연구에서는 Figure 2와 같은 프로세스에 따라 캐시-마이어 하이브리드 모델의 파라미터를 추정하였다. 정상 부하 상태에 발생하는 아크 측정을 위해 고속 디지털 오실로스코프를 사용하여 아크 전압U(t)및 아크 전류I(t)를 측정하고 신호의 반복적 특성을 포착하기 위해 전처리 과정을 통해 100회의 파형을 누적(sweep)하여 평균화하였다. 데이터 정확도 확보를 위해 전체 구간 50 ms에서 최대 1 MS (메가 샘플)을 취득하고 50 ns 단위로 취득한 아크 전압과 아크 전류의 시계열 데이터를 정렬하여 데이터를 병합하였다. 이후, 신호의 특성을 유지하면서 컴퓨팅 연산량을 줄이기 위해 전체 데이터의 1/10을 추출하여 실험의 분석 대상으로 하였다. 컨덕턴스 G(t)= I(t)U(t)  정의에 따라 신호를 구하고 이 때, 전압이 0에 가까워져 발생하는 특이점 처리를 위해 0.01 V 이하의 데이터는 분석에서 제외하여 무한대 값이나 이상 피크와 같은 비정상적인 데이터가 없는 컨덕턴스 데이터를 확보하였다. 이후 Savitzky–Golay 필터(polyorder = 3, window size = 4001)를 적용하여 신호의 고유 특성을 보존한 상태로 고주파 노이즈 신호를 저감하고 이를 바탕으로 도함수  dG(t)dt  를 구하였다. 필터를 적용한 도함수  dG(t)dt  를 바탕으로 앞서 정의된 캐시-마이어 하이브리드 모델의 주요 파라미터(U_c: 캐시 전압​, P_m: 마이어 전력​, θ_h: 아크 시정수, G_t: 전환 컨덕턴스)를 유효한 범위 내에서의 경계조건과 초기값을 설정하여 비선형 최소제곱법을 이용한 수치 최적화를 통해 구하였다. 도출한 주요 파라미터를 이용하여 캐시-마이어 하이브리드 모델과 실제 측정된 아크 전압과 아크 전류를 통해 구한 도함수  dG(t)dt  를 시각화를 통해 비교하고, 모델의 주요 파라미터들 실제 데이터를 잘 설명하는지 결정계수(R²)와 평균 제곱근 오차(root mean square error, RMSE)를 통해 검증하였다.

Figure 2

Flowchart of hybrid Cassie-Mayr model parameter estimation process.